USO DA LINHA DE GRADE NO ESTUDO DA GEOMTRIA PLANA - CURSO SOBRE O USO DAS TICs

Este material faz parte do cuso sobre o uso das TICs no ensino aprendizagem. e foi montado em Power Point., Veja abaixo as fotos desta apreentação:

CÁLCULO DA FUNÇÃO INVERSA GRAFICAMENTE

A função inversa é simétrica em relação à reta y = x, logo todo ponto (x , y) em y vira (y , x) na inversa.


Exemplo. Achar a inversa de y = x / (x - 2)

Etapas a serem seguidas.

1) Troco x por y para achar a inversa (devido a simetria de y = x)

x = y / (y - 2) logo yinv = 2x / ( x - 1 )

2) Assíntota horizontal

É a reta y = constante, em que esta constante se aproxima dos extremos da curva dada

Da tabela observa-se que este ponto é y =1, pois se usarmos o fato de que x * 1/x = 1, tem-se para o numerador que x = 1 / (1/x ), portanto y = 1 / (x - 2)/x, e y = 1 / (1 - 2/x)

Para x muito grande, obtem-se y = 1, que é o limtie de y = x / (x-2) quando x tende a infinito.

Assim y = 1 é a assíntota horizontal.

3) Assíntota vertical

É a reta x = constante, em que esta constante se aproxima dos valores de y da curva dada. Corresponde ao valor de x obtido fazendo-se o denominador igual a zero.

Logo de x - 2 = 0 obtem-se x = 2. Assíntota vertical será x = 2.

3) Assíntota horizontal da inversa

É a reta y = constante, em que esta constante se aproxima dos extremos da curva dada

Da tabela observa-se que este ponto é y =2, pois se usarmos o fato de que x * 1/x = 1, tem-se para o numerador que x = 1 / (1/x ), portanto y = 2 / (x - 1)/x, e y = 2 / (1 - 1/x)

Para x muito grande obtem-se y = 2, que é o limtie de y = x / (x-2) quando x tende a infinito.

Assim y = 2 é a assíntota horizontal da inversa

4) Assíntota vertical da inversa

É a reta x = constante, em que esta constante se aproxima dos valores de y da curva dada. Corresponde ao valor de x obtido fazendo-se o denominador igual a zero.

Logo de x - 1 = 0 obtem-se x = 1. Assíntota vertical será x = 1.
Abaixo tem-se a tabela e os gráficos d y = x / (x - 2) e sua inversa y1 = 2x / (x - 1)

FUNÇÃO COM VÁRIAS SENTENÇAS TRABALHADA PELA FUNÇÃO LÓGICA.

Seja a função definida por f(x)   A) x, se x  >= 2;  B) -1, se 0 =<  x  <  2  e  C) x - 1, se  x < 0
Construir seu gráfico.

SOLUÇÃO

Considerações iniciais
1) Este exercício por envolver 3 sentenças matemáticas em intervalos diferentes, pode ser resolvio pela função logica SE, conforme será mostrado abaixo.
2) Por outro lado na tabela teremos que limitar o intervalo desde um valor mínimo (no caso x =-5) até um valor máximo (x = 5), pois o computador só trabalha com sequências de números finitas.
3) o intervalo  0 = <   x   < 2 em Excel deverá ser representado pela função lógica E;
Exemplo: Seja x = A15, célula em que se encontra o valor de x, assim temos:  E(A15 >= 0;A15 < 2).

Abaixo tem-se o gráfico para a tabela em estudo.

Deste modo utilizando-se a função Lógica SE, junto com a função E, pode-se levantar o gráfico de modo prático e seguro.
Atenção: O uso da função lógica na maioria das vezes facilita a construção de gráficos mais complexos, a partir de uma tabela construída pelo usuário.
Aguardem que outros exemplos virão adiante.

QUADRADO DE VÉRTICES A( -2 , 2), B(2 , 2), C( 2 , - 2) E D( - 2 , - 2) COM A LINHA DE GRADE DO EXCEL:

OBJETIVO: Desenhar o quadrado e obter as equações das retas que passam pelos lados do quadrado.

CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
1)RETA DO LADO AB: Sejam os pontos A(-2 , 2) e B (2 , 2) . Sobre o segmento AB existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:

-4 + 2x + 2y - 2x - 4 - (-2y) = 0

4y = 8 ==> y = 2 ou y - 2 = 0

2)RETA DO LADO BC: Sejam os pontos B(2 , 2) e C(2 , - 2) . Sobre o segmento BC existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:

-4 + 2x + 2y - (-2x) - 4 - 2y = 0

4x= 8 ==> x = 2 ou x - 2 = 0

3)RETA DO LADO AD: Sejam os pontos A(-2 , 2) e D (- 2 , - 2) . Sobre o segmento AD existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:

4 + 2x - 2y - (-2x) - (- 4) - 2y = 0

4x = - 8 ==> x = - 2 ou x + 2 = 0

4)RETA DO LADO CD: Sejam os pontos C(2 , - 2) e D (- 2 , - 2) . Sobre o segmento CD existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:

- 4 - 2x - 2y - (-2x) - 4 - 2y = 0

4y = - 8 ==> y = - 2 ou y + 2 - 0

Portanto tem-se 4 retas distintas; reta AB y = 2 , reta BC x = 2, reta AC x = -2 e reta CD y = -2

CONCLUSÃO FINAL
A equação geral da reta é dada por ax + by + c = 0.

A equação reduzida é dada por: y = (-a/b) x - c/b, x onde (-a/b) = coeficiente angular da reta e (-c/b) = coeficiente linear da reta.

RETA AB: y - 2 = 0 (a = 0, b= 1 e c = -2) ==> -a / b = 0 ==> coeficiente angular é zero logo possui inclinação de 0º, e - c / b = -(-2)/1 = 2 logo o coeficiente linear é 2 ==> intercepta o eixo Oy em (0 , 2).

RETA BC: x - 2 = 0 (a=1, b = 0 e c = -2) ==> -a / b = -1/0 não é definido nos Reais. ==> não existe coeficiente angular e a reta forma 90º com a horizontal. e - c / b = -(-2)/0 não é definido nos Reais, logo o coeficiente linear também não existe.. A reta BC é perpendicular à reta AB e pela condição de perpendicularidade coef ang BC = -1 / coef ang AB = -1 / 0 , não é definido nos reais.

RETA AD: x + 2 = 0 (a=1, b = 0 e c = 2) ==> -a / b = -1/0 não é definido nos Reais. ==> não existe coeficiente angular e a reta forma 90º com a horizontal. e - c / b = - 2 / 0 não é definido nos Reais, logo o coeficiente linear também não existe.. A reta AD é perpendicular à reta AB e pela condição de perpendicularidade coef ang AD = -1 / coef ang AB = -1 / 0 , não é definido nos reais.

RETA CD: y + 2 = 0 (a = 0, b= 1 e c = 2) ==> -a / b = 0 ==> coeficiente angular é zero e - c / b = - 2 / 1 = - 2 logo o coeficiente linear é - 2 ==> intercepta o eixo Oy em (0 , 2).. Por outro lado a reta CD é perpendicular à reta AD e pela condição de perpendicularidade coefang CD = -1 / coef ang AD = -1 / (-1/0) = 0*1 = 0 . Possui inclinação de 0º .
Por outro lado tem-se que AB // CD e AC // BC.

TRABALHANDO COM FUNÇÃO LINEAR E FAMÍLIA DE FUNÇÃO LINEAR NO WINPLOT

O Winplot possui uma função muito útil que é a função FAMILIA, embutida na janela INVENTÁRIO. Quando você digitar a função desejada na JANELA F(x), aparecerá na janel inventário a fórmula digitada. Basta clicar em família que irá aparecer a JANELA FAMÍLIA [ y = ax ], com seus parâmetros., que depois de serem configurados permitem visualizar todas as funções lineares no intervalo de a mínimo e a máximo.
O passo a passo a seguir mostra como proceder, no caso da função y = ax
ABRINDO O WINPLOT
1) Clicar em Janela / 2-Dim para abrir a janela gráfica.
2) Clicar em EQUAÇÃO / EXPLICITA para abrir a janela abaixo y = f(x)
3) Digitar os valores em y = f(x)
• f(x) = ax
• travar intervalo = marcar para travar
• xmínimo = - 10
• xmáximo = 10
• Espessura da linha = 1
• Densidade de plotagem e tolerância manter como está.
• Cor: clicar em cor para abrir a janla de cores. Selecionar a cor preta.
• Clicar em OK.

MUDANDO A COR DO FUNDO
Clicar em MISC / COR / FUNDO e trocar a cor para BRANCA.

FORMATANDO OS EIXOS NO GRÁFICO
Clicar em VER / GRADE que a janela ao lado aparecerá.
Esta janela vai permitir a formatação dos eixos e as escalas dos mesmos.
Nesta janela clicar em:
• Eixos = ambos
• Intervalo x=1 e y = 1
• Escalas em x e y não marcar
• Decimais (casas decimais ) mar car 0 em x e 0 em y.
• Freqüência marcar 1 em x e 1 em y.
• Grade. Marcar pontilhado e retangular para aparewcer uma malha quadriculada.
• Clicar em aplicar.

ANIMAÇÃO DO GRÁFICO y = ax
• Clicar em ANIMAÇÃO / INDIVIDUAIS / A
• Digitar -10 e clicar em def L (mínimo)
• Digitar 10 e clicar em def R (máximo)
• Clicar em auto rever para iniciar a animação.
• S = sair , L = lento e R = rápido

Pronto agora ao clicar em auto rever você terá a variação de y = ax entre os valores de a zero para mínimo e 10 para máximo.

SERÁ QUE POSSO MOSTRAR UMA FAMÍLIA DE CURVAS DO TIPO y - ax ?
Sim, basta ir na janela INVENTÁRIO e clicar em FAMÍLIA que a janela ao lado aparecerá.
Digite mínimo = 0 e máximo = 5
Digite passo 20
Digite retraso 50
Clicar em definir
Pronto a figura abaixo mostrará a família desejada.

TRABALHANDO FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU NO WINPLOT

Trabalhar as funções lineares e do primeiro grau no Winplot de forma dinâmica fica mais fácil a análise do comportamento das mesmas.
Exemplo: Estudar o comportamento da função y = ax + 3, em torno do ponto (0 , 3).

ABRINDO O WINPLOT
1) Clicar em Janela / 2-Dim para abrir a janela gráfica.
2) Clicar em EQUAÇÃO / EXPLICITA para abrir a janela abaixo y = f(x)

Passos a serem seguidos na janela f(x)

> Digitar em f(x) a fórmula y = ax + 3
> Em x mínimo digitar o valor -5 e em x máximo o valor + 5.
> Clicar em travar intervalos para garantir que f(x) assuma somente valores para -5 <> Manter a espessura da linha em 3 para ter um traçado mais consistente do gráfico.
> Selecionar a cor preta na aba cor.

ENQUADRAMENTO DA JANELA GRÁFICA

Clicar em PAGE DOWN para enquadrar a janela gráfica em um tamanho que permita a visualização completa do gráfico ao redor do ponto (0,3).

DEFININDO O INTERVALO DE VARIAÇÃO DE a

O valor de a dá a inclinação da reta e é chamado de coeficiente angular da reta.

Se a > 0 tem-se que a reta é crescente.

Se a é negativo tem-se que a reta é decrescente .

Então faz-se a assumir valores entre - 10 e 10 para se ter um gráfico dinâmico variando entre a função decrescentre e a função crescnte.

Na janela digitar:

> -10 e clicar em def L para o valor mínimo de a

> 10 e clicar em def R para o valor máximo de a.

> a seguir clicar em auto rev que o gráfico é traçado de forma dinâmica.

> para parar digite a letra S - para ir mais lento digite a letra L e para ir rápido digite a letra R.

O que ocorre com o gráfico?

A reta sofre uma rotação em torno do ponto (0 , 3), de acordo com o valor assumido por a
Por outro lado a animação permite verificar que:

Se a esta entre 0 e 10, a função será crescente.

Se a = 0 tem-se f(x) = 3, que representa a função constante y = K

Se a esta entre 0 e -10 a função será decrescente.

FORMATANDO OS EIXOS NO GRÁFICO

Para a formatação dos eixos clica-se em VER / GRADE que a janela ao lado aparecerá.
Esta janela vai permitir a formatação dos eixos e as escalas dos mesmos.

Passos a serem seguios:

> marcar eixos e ambos

> clicar em marcas

> Em intervalo selecionar 2 para x e 3 para y , correspondentes as escalas de x e y

> selecionar escals em x e y

> Em decimais digitar 0 (ou seja 0 casas decimais na escala)

> Em frequência digitar 1 para x e y

> Marcar escala sobre eixo

> Se desejar montar as linhas de grade da tela gráfica marcar PONTILHADO e RETANGULAR.

> clicar em aplicar e em fechar para ver o efeito obtido.

COMO FORMATAR O FUNDO DO GRÁFICO

> Clicar em MISC / COR FUNDO e escolher a cor desejada (no caso Branca)

PARA QUE SERVE A JANELA INVENTÁRIO

É nela que irão aparecer as funções digitadas .

Se desejar digitar outra formula:

> clicar em editar e na janela que aparecer difitar a fórmula desejada

> Ou se preferir manter a fórmula atual e digitar outra junto, clicar em DUPL irá aparecer uma pergunta indagando de desejar apagar ou mantrer a fonte atual. Clicar em MANTER A FONTE.

> Outra janela f(x) irá aparecer. nele digite a fórmula desejada. Em outros exemplos iremos mostrar este articficio.

Pronto. Esta feito o passo a passo básico para se traçar um gráfico com a variando em um intervalo definido.

TRABALHANDO FUNÇÕES COM A LINHA DE GRADE DO EXCEL.

A linha de grade do Excel, aparentemente não tem muito valor para o estudo da matemática, já que o forte deste aplicativo são as tabelas e gráfico de funções através do MODO DISPERSÃO XY.
Mas engana-se quem pensa deste modo, pois a partir do momento que se quadricula a linha de grade como o modelo ao lado, tem-se um poderoso Paint quadriculado, onde se pode estudar toda a Geometria Plana e as funções lineares e do primeiro grau, sem recorrer à construção gráfica pelo aplicativo, tão temida por muitos.

Foi proposto então um modelo de trabalho para este tipo de planila,conforme foto ao lado. Vai-se mostrar alguns exemplos deste modelo de aplicação.

FUNÇÃO IDENTIDADE ( y = x)
Representa a bissetriz do 1º e 3º quadrante. É uma função importante pois a partir dela pode-se:
a) construir a função linear y = a.x , através de uma rotação de um ângulo alfa, cuja tangente deste ângulo é numericamente igual ao valor de a;
b) a função do primeiro grau y = a.x +b, através da rotação de um ãngulo alfa, seguido de uma translação de b sobre o eixo vertical Oy.

A tabela nos mostra que para cada valor de x tem-se um y = x, definindo assim a bissetriz y = x dos 1º e 3º quadrantes.
E como obter então a função y = ax e y = ax + b?
1º) rotaciona-se a reta y = x de um ângulo alfa, no sentido antihorário e obtem-se y = a.x
2º) translada-se de b a reta no eixo verttical Oy e obtem-se y = ax + b.
Assim, a partir de y = x pode-se obter as funções y = 2x e y = 2x + 4.
Tente agora com outros valores de a e b.